不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。
一、比較法
比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）
例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。 
證明：
例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba
分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則
 
練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）
二、基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及  變形有：
（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）
（2）若a、b∈R+，則a+b≥ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）
（3）若a、b同號(hào)，則 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）
例3 若a、b∈R，
分析：通過觀察可直接套用：
證明：
練習(xí)2：若
二、綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。
例4，設(shè)
證明：
 
練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f
求證：2f（n）≤f（2n）
四、分析法
從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。
例5：已知
分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 也不適用基本不等式法，用分析法較合適。
證明： 
∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知
∴ 不等式成立
練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2
五、放縮法
放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。
例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)
求證：
分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。  
 
練習(xí)5：已知：
六、換元法
換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。
1、三角換元：
是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1. ，  求證0＜A＜1
證明： ， ， ，（0＜θ＜ ）
   
復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證： ≤x2-xy+y2≤3
2、比值換元：
對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。
例8：已知
證明：
 
七、反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。
例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2
分析：本題已知為p、q的三次  ，而結(jié)論中只有一次  ，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。
證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q
∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3
將p3+q =2，代入得 6q2-12q+6＜0
即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾  ∴p+q≤2
練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0,abc＞0.
       求證：a＞0,b＞0,c＞0
八、數(shù)學(xué)歸納法
與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。
例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證： ＞
分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法
證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左=
（2）假設(shè)
n=k 
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，  ①
要證①式左邊＞  ②
對(duì)于②〈二〉
〈二〉
〈二〉
〈二〉4＞3                                        ③
∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立
由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立
練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證：
九、構(gòu)造法
根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。
1、構(gòu)造函數(shù)法
例11：證明不等式：
證明：設(shè)f（x）=   
∵f（-x）
= =f（x）
∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱
∵當(dāng)x＞0時(shí)，1-2x＜0 ，故f（x）＜0
∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱性知f（x）＜0
∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即
練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-
2、構(gòu)造圖形法
例12：若f（x）= ，則|f（x）-f（b）|＜
分析：由 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1,x),O(O,O)的距離
 即
于是如右圖，設(shè)A(1,a)，B(1,b)則OA=  OB= 
 
又  ∴|f(a)- f(b)|＜|a-b|
練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證
十、添項(xiàng)法
某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。
1、倍數(shù)添項(xiàng)
若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。
例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）
證明：∵a、b、c∈R+
∴a3+b3+c3=
 
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。
2、平方添項(xiàng)
運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向
例14 對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：
證明：
 
 
3、平均值添項(xiàng)
例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC
分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin
證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin （當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）
   sinx+siny=2sin
∴上式成立
反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得
 
練習(xí)11 在△ABC中，sin
4、利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)
例16 已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞
分析：若取消a≠b的限制則a=b= 時(shí)，等號(hào)成立
證明：∵a、b∈R+   ∴a4+3 ≥  ①
同理   ②
∴   ③
∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立  ∴③中等號(hào)不成立  ∴ 原不等式成立
1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？
錯(cuò)解：證明不等式 恒成立，故說明c存在。
正解：x=y得 ，故猜想c= ,下證不等式 恒成立。
要證不等式 ，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證 ,即2xy≤ ，而此不等式恒成立，同理不等式 也成立，故存在c= 使原不等式恒成立。
6.2已知x,y,z∈ ，求證：  xyz
錯(cuò)解：∵  3 =3xyz
又x+y+z 
∴   =xyz
錯(cuò)因：根據(jù)不等式性質(zhì)：若a b 0，c d 0,則ac bd，但   卻不一定成立
正解：  2x z，
  2xy ，
  2 yz
以上三式相加，化簡得：
  xyz(x+y+z),
兩邊同除以x+y+z:
  xyz
6.3 設(shè)x+y>0， n為偶數(shù)，求證   +
錯(cuò)證：∵ - - =
n為偶數(shù)，∴  0，又 和 同號(hào)，
∴ +   +
錯(cuò)因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)， 和 不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同好和異號(hào)兩種情況討論。
正解：應(yīng)用比較法：
 - - =
① 當(dāng)x>0,y>0時(shí)，  0， >0
所以  0          故： +   +
② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|
又n為偶數(shù)時(shí),所以 >0
又 >0，所以 >0
即 +   +
綜合①②知原不等式成立